Хиуаз Доспанова родилась 15 мая 1922 года в селе Ганюшкино Гурьевской области. В 1940 году она окончила школу № 1 в Уральске с золотой медалью. К тому времени она уже прошла обучение в аэроклубе и получила свидетельство пилота запаса. Небо увлекло её настолько, что дальнейшую жизнь девушка решила связать с лётным делом. 

После выпуска она отправилась в Москву, рассчитывая поступить в Военно-воздушную академию имени Жуковского. Однако женщин туда не принимали. Получив отказ. она не стала отказываться от образования и поступила в Первый Московский медицинский институт. 

Однако уже через год её планы вновь изменились: началась Великая Отечественная война. Желание оказаться на фронте стало для нее сильнее намерения продолжить учебу. В октябре 1941 года Доспанова вместе с подругой Татьяной Сумароковой обратилась к лётчице Марине Расковой, которая в то время занималась формированием женских авиационных полков. После зачисления девушек направили в Энгельс, где они прошли ускоренную подготовку. 

Так Доспанова вновь вернулась к авиации - уже не в качестве ученицы аэроклуба, а как будущий участник боевых вылетов. Вскоре её направили в 588-й ночной легкобомбардировочный авиаполк, личный состав которого полностью состоял из женщин. 

Основным самолетом полка был По-2 - лёгкий биплан, который изначально создавался вовсе не как фронтовая машина. Однако его невысокая скорость и способность летать на малой высотке в условиях ночной войны оказались полезными.  При подходе к цели экипажи старались максимально снизить шум двигателя, а иногда переходили к планированию. В ночной тишине оставался слышен лишь слабый шум приближающегося самолета. Именно за такие внезапные ночные атаки за летчицами полка закрепилось знаменитое прозвище «ночные ведьмы».

В полку Доспанова служила штурманом-стрелком. За годы войны её экипажи действовали на разных направлениях: на Южном фронте, Северном Кавказе, Кубани, в Крыму, Украине, Белоруссии, Польше и Германии. 

Ночные вылеты требовали от лётчиц постоянного напряжения.  За одну ночь экипаж мог подниматься в воздух несколько раз, а значительная часть полета проходила на небольшой высоте. 

На первых этапах боевой работы экипажи нередко летали без парашютов, стараясь максимально облегчить самолёт и увеличить бомбовую нагрузку.

Весной 1943 года один из таких вылетов едва не стал для Доспановой последним. В ночь на 1 апреля при возвращении на аэродром самолет, в котором находились пилот Юлия Пашкова и штурман Хиуаз Доспанова, столкнулся в воздухе с другой машиной. В результате катастрофы погибли три летчицы, в т.ч. Пашкова. Доспанова получила тяжелейшие травмы – у нее были переломаны обе ноги. 

Несколько дней врачи боролись за её жизнь. Из-за тяжести повреждений возникла угроза ампутации, однако ноги удалось сохранить. Последовали операции, месяцы лечения и восстановления, но полностью избавиться от последствий полученных травм Доспановой так и не удалось.

Несмотря на это, спустя несколько месяцев она решила вернуться в строй. Ходить ей было трудно, первое время она передвигалась с помощью палочки, а товарищи помогали ей садиться в самолёт и выбираться из него после приземления. Тем не менее Доспанова снова участвовала в боевой работе. Позднее из-за последствий ранения её перевели на штабную должность, где она оставалась до конца войны.

Победу Хиуаз Доспанова встретила под Берлином.

Возвращение домой оказалось началом не менее сложного периода её жизни. После войны она приехала в Казахстан инвалидом II группы. Ноги, тяжело повреждённые ещё в 1943 году, так и не восстановились полностью, и последствия фронтовых ранений она ощущала всю дальнейшую жизнь.

Перед Доспановой вновь встал вопрос о будущем. Когда-то она прервала обучение в медицинском институте и сначала собиралась вернуться к медицине. Однако первый секретарь Западно-Казахстанского обкома партии Минайдар Салин предложил ей работать в партийных органах. Так завершился её фронтовой путь и начался новый этап — уже в общественно-политической жизни республики.

После войны Доспанова активно занималась общественной работой. Она начинала инструктором Западно-Казахстанского обкома партии, затем продолжила партийное образование. Позже работала в комсомольских и партийных органах, занимала должности секретаря, а затем первого секретаря ЦК ЛКСМ Казахстана.

В 1951 году Хиуаз Доспанова была избрана депутатом Верховного Совета Казахской ССР и на первой же сессии стала секретарём Президиума Верховного Совета. В дальнейшем она работала в аппарате ЦК Компартии Казахстана, а затем занимала руководящие должности в Алма-Атинском городском комитете партии.

Фронтовые травмы, однако, продолжали сказываться на её здоровье. К концу 1950-х годов состояние Доспановой заметно ухудшилось. В 1959 году, когда ей было всего 37 лет, она была вынуждена завершить трудовую деятельность по состоянию здоровья.

Военные заслуги Хиуаз Доспановой были отмечены орденом Красной Звезды и орденом Отечественной войны II степени, а также рядом медалей. В 1985 году она была награждена орденом Отечественной войны I степени. В декабре 2004 года Хиуаз Доспановой присвоили высшую степень отличия Казахстана — звание «Халық Қаһарманы».

Хиуаз Доспанова умерла 20 мая 2008 года в Алматы.

После её смерти память о ней стала частью общественного пространства Казахстана. В 2018 году село Дашино в Атырауской области было переименовано в село Хиуаз. Имя Хиуаз Доспановой носит Международный аэропорт Атырау. В разных городах страны её именем названы улицы и образовательные учреждения, установлены памятники и мемориальные доски.